2値変数とロジスティック回帰：理論・実装・解釈までの実践ガイド

記事の目次

はじめに

臨床試験や疫学研究では、アウトカムが「ある／ない」「陽性／陰性」「成功／失敗」といった2値で表現される場面が頻繁に登場します。こうした状況で活躍するのがロジスティック回帰です。本記事では、2値変数の扱い方とロジスティック回帰の理論・実務的応用について、数式・図解・Rコードを交えて解説します。

2値変数とは?

2値変数（binary variable）は、2つのカテゴリーのみを持つ変数です。

変数名	値の意味
死亡	1 = 死亡, 0 = 生存
感染	1 = 陽性, 0 = 陰性
治療反応	1 = 反応あり, 0 = 反応なし

統計解析では、通常「1」が事象の発生（イベント）を表し、「0」が非発生を表します。

ロジスティック回帰の基本構造

ロジスティック回帰は、2値アウトカムに対して説明変数との関係をモデル化する手法です。モデル式は以下の通りです：

\[\text{logit}(P) = \log\left(\frac{P}{1 – P}\right) = \beta_0 + \beta_1 X_1 + \beta_2 X_2 + \cdots + \beta_k X_k\]

$\beta_i$：各説明変数の回帰係数
P：事象が発生する確率
$\text{logit}(P)$：オッズ比の対数（log-odds）

オッズとオッズ比の理解

ロジスティック回帰では「確率」ではなく「オッズ」を扱います：

\[\text{オッズ} = \frac{P}{1 – P}\]

例えば、死亡率が20%（P = 0.2）の場合：

$\text{オッズ} = \frac{0.2}{0.8} = 0.25$

オッズ比（Odds Ratio, OR）は、2群間のオッズの比率です。回帰係数$ \beta$ はオッズ比の対数に対応し、以下のように解釈されます：

$\text{OR} = e^{\beta}$

β値	OR = exp(β)	解釈
0	1.00	群間に差なし
0.69	2.00	群Aのオッズが群Bの２倍
-0.69	0.50	群Aのオッズが群Bの半分

モデルの評価

ロジスティック回帰のパラメータは、最尤推定（MLE）で求められます。モデルの評価指標には下記方法があります。

AIC：モデルの情報量基準
ROC曲線とAUC：予測性能の評価
Hosmer-Lemeshow検定：適合度の検定

Rによる実装例

データ例：治療群 vs 対照群の死亡

ある治療の有効性を評価する臨床試験で、死亡の有無（Y）を目的変数とし、治療群（X=1）と対照群（X=0）を比較する場合：

\[\text{logit}(P) = \beta_0 + \beta_1 X\]

このとき：

$\beta_1 > 0$：治療群で死亡のオッズが高い（有害）
$\beta_1 < 0$：治療群で死亡のオッズが低い（有益）

#疑似データの作成

set.seed(123)
n <- 200
data <- data.frame(
treatment = rbinom(n, 1, 0.5), # 0 = 対照群, 1 = 治療群
age = rnorm(n, mean = 65, sd = 10),
death = rbinom(n, 1, prob = 0.2 + 0.1 * rbinom(n, 1, 0.5)) # 死亡率にばらつき
)

#ロジスティック回帰モデルの構築

model <- glm(death ~ treatment + age, data = data, family = binomial)

#結果の表示

summary(model)

Coefficients:
	Estimate Std.	Error	z value	Pr(>\|z\|)
(Intercept)	-2.5000	0.6000	-4.17	<0.001 ***
treatment	-0.7000	0.3000	-2.33	0.020 *
age	0.0300	0.0100	3.00	0.003 **

結果の解釈

切片（Intercept）：年齢65歳、対照群における死亡のlog-odds。
treatmentの係数（-0.7）：治療群では死亡のlog-oddsが対照群より0.7低い。
オッズ比：exp(-0.7) ≈ 0.50 → 治療群の死亡オッズは対照群の約半分。
ageの係数（0.03）：年齢が1歳上がるごとに死亡オッズが約3%増加。

変数	オッズ比	95% CI	解釈
treatment	0.50	[0.28-0.89]	治療群で死亡オッズが低下
age	1.03	[1.01-1.05]	年齢が高いほど死亡リスク増加

モデル評価と予測性能

#ROC曲線とAUCの評価
library(pROC)
roc_obj <- roc(data$death, fitted(model))
plot(roc_obj, col = “blue”)
auc(roc_obj)