対応のあるt検定とウィルコクソン符号順位検定

記事の目次

はじめに

製薬業界における臨床試験や探索的研究では、同一被験者における前後比較が頻繁に行われます。例えば、治療前後のバイオマーカー値、投与前後の血圧、あるいはクロスオーバーデザインにおける2処置の比較などです。
このような「同一対象から得られたペアデータ」を解析する代表的手法が、対応のあるt検定（paired t-test）とウィルコクソン符号順位検定（Wilcoxon signed-rank test）です。両者は「平均値の差」を評価するか「分布の位置の差」を評価するかという点で異なり、また正規性の仮定の有無も重要な違いとなります。本記事では、数理的導入からRでの実装例、さらに製薬業界での実務的な位置づけまでを整理します。
また、対応のないt検定やウィルコクソン検定は下記記事で紹介しておりますので、興味がありましたら是非ご一読ください。

t検定の数理的導出とRによる実装例t検定の数理的導入を丁寧に解説し、検定統計量がどのように導かれるかを確認した上で、Rを用いた具体例を示します。単なる「使い方」ではなく、「なぜその式になるのか」を理解することで、解析結果をより深く解釈できるようになることを目指します。...

ノンパラメトリック検定の代表格：ウィルコクソン検定の数理と実装ノンパラメトリック検定のウィルコクソン検定について数理的な導出とR言語での具体的な実装例を解説していきます。...

数理的導入

データの形式は下記のようにするとします。

	群A	群B	差d	\|d\|に対する順位
1	$X_{A_{1}}$	$X_{B_{1}}$	$d_{1} = X_{A_{1}} – X_{B_{1}}$	$R_1$
2	$X_{A_{2}}$	$X_{B_{2}}$	$d_{2} = X_{A_{2}} – X_{B_{2}}$	$R_2$
$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$
n	$X_{A_{n}}$	$X_{B_{n}}$	$d_{n} = X_{A_{n}} – X_{B_{n}}$	$R_n$

2.1 対応のあるt検定

対応のあるt検定は、同一被験者から得られた2つの測定値の差を考え、その差の平均が0かどうかを検定します。2群A、Bが正規分布$N(\mu_A, \sigma_A^2) ,N(\mu_B, \sigma_B^2) $に従っているとします。

仮説

帰無仮説、対立仮説は以下となります。
$$
\begin{eqnarray}
H_0 &:& \mu_A = \mu_B \\
H_1 &:& \mu_A \neq \mu_B (or \mu_A > \mu_B, \mu_A < \mu_B)
\end{eqnarray}
$$

検定統計量

$d_{i} = X_{A_{i}} – X_{B_{i}} (i=1,…,n) $に関する平均値を$\bar{d}$, 標準偏差を$S_d$とすると、対応のあるt検定の検定統計量は以下のようになります。

\[T = \frac{\bar{d}}{S_d/\sqrt{n}}\]

上記統計量は$H_0$の下でt_{n-1}分布に従うため、これを利用して、検定を行っていく。

ウィルコクソン符号順位検定

一方、ウィルコクソン符号順位検定は、差の分布が対称であることを前提に、差の中央値が0かどうかを検定します。2群A,Bが正規母集団か分からないときにも適用することができます。

仮説

帰無仮説、対立仮説は以下となります。
$$
\begin{eqnarray}
H_0 &:& \mu_A = \mu_B \\
H_1 &:& \mu_A \neq \mu_B (or \mu_A > \mu_B, \mu_A < \mu_B)
\end{eqnarray}
$$

検定統計量

$d_{i} = X_{A_{i}} – X_{B_{i}} (i=1,…,n) $を計算して、その絶対値$|d_i|$に関して、順位$R_{i}$を小さい順に付けていきます。このとき、順位和を以下のようにする。

W=(順位和の小さい群の順位和)

ここで、Wの期待値と分散が以下のようになる。ただし、mはA群とB群のペア数とする。

\[E(W) = \frac{m(m+1)}{4}\]
\[V(W) = \frac{m(m+1)(2m+1)}{24}\]

実際には、離散分布から連続分布への連続修正項0.5を導入して、

\[Z = \frac{W – E(W) \pm 1/2}{\sqrt{V(W)}}\]

が$H_0$の下でN(0,1)に従うことを利用して検定を行っていきます。

製薬業界での実務的な位置づけ

臨床試験においては、統計解析計画書（SAP）に基づき、どの検定を用いるかが事前に規定されます。

対応のあるt検定は、差の正規性が妥当と考えられる場合に用いられます。特にサンプルサイズが大きい場合、中心極限定理により正規近似が成立しやすいため、実務上よく使われます。
ウィルコクソン符号順位検定は、データが明らかに非正規的（外れ値が多い、分布が歪んでいる）な場合に選択されます。特に探索的解析や小規模試験で有用です。

規制当局（FDA, EMA, PMDA）は、どちらの検定も適切に使われることを認めていますが、事前に選択理由を明記することが重要です。

R言語による実装例

データ例

# サンプルデータ
before <- c(150, 160, 145, 155, 148, 152, 158, 149, 151, 153)
after  <- c(140, 155, 142, 150, 145, 148, 152, 147, 149, 150)